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Análisis de Fourier

La transformada de Fourier es una herramienta de uso diario para quienes trabajan con audio. En este post se propone analizarla desde una perspectiva analítica para lograr un mejor entendimiento.

Fue planteada por el matemático francés Joseph Fourier en el año 1822. Su interés no estaba centrado en el sonido ni mucho menos, sino en  la transmisión de calor. En su libro “Teoría Analítica del Calor” planteó las bases del teorema que después se transformaría en una herramienta de gran importancia para las ciencias.

“Toda onda compleja periódica se puede representar como la suma de ondas simples.”

Seguramente muchos han leído este enunciado. Básicamente plantea que cualquier señal periódica (de la forma que sea) puede descomponerse como la suma de señales sinusoidales de distintas frecuencias.

ezgif-353613918Por ejemplo, en la animación se puede observar una señal “cuadrada” generada a partir de la suma de sinusoides puras.

Para el análisis supongamos que el segmento más largo se encuentra girando a 100Hz (en la animación gira mucho más lento). Si se observa con atención, se puede apreciar que el siguiente segmento realiza 3 vueltas por cada una del segmento largo. En nuestro ejemplo, si el largo realiza 100 ciclos por segundo, el siguiente realiza 300 ciclos por segundo, es decir, gira a 300Hz. Se puede también decir que el segundo segmento es un 3er armónico del primero (multiplica su frecuencia por 3).

Si prestamos atención al tercer segmento, veremos que realiza 5 vueltas por cada una del segmento largo. Es decir, gira a 500Hz y es un 5to armónico del primero. Por último, el cuarto segmento gira 7 veces, en nuestro ejemplo serían 700Hz y corresponde con un 7mo armónico.

Podemos notar que estamos adhiriendo armónicos impares consecutivos: 1ro, 3ro, 5to y 7mo. Si pudiéramos sumar infinitos armónicos con esta condición podríamos construir una onda cuadrada casi perfecta.
FFTr

Al graficar cada segmento en función de la frecuencia (respetando su amplitud), se obtiene el espectro en frecuencia de la señal compleja.

Esto es posible de lograr con cualquier señal periódica y es el principio que utiliza un analizador de espectro o los sintetizadores que funcionan por adición. La condición de periodicidad es fácil de evadir si consideramos un período suficientemente largo que contenga la señal entera.

El mayor auge de esta herramienta no fue hasta que la computación avanzó lo suficiente para facilitar los cálculos, no tiene mucho sentido descomponer una señal “a mano”. La transformada rápida de Fourier (FFT de Fast Fourier Transform) es el algoritmo que permite obtener los coeficientes de una serie de Fourier de forma rápida y, hoy en día, es usada en la mayoría de los software de audio conocidos.

Ver además: Límites de una FFT

Ing. Facundo Ramón
Investigación & Desarrollo – Equaphon

Facundo Ramón

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